Logika Matematika

A. Pernyataan
Kalimat ada 2 macam :

1. Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.

Contoh : 3x + 5 = 10

1. Kalimat tertutup ( pernyataan ) adalah kalimat yang dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.

Contoh : 5 + 6 = 11
B. Negasi , Disjungsi , Konjungsi , Implikasi , Biimplikasi
Negasi adalah ingkaran dari suatu pernyataan , jika sutau pernyataan bernila benar , maka ingkarannya bernilai salah, begitu pula jika pernyataan bernilai salah maka ingkarannya bernilai benar. Simbolnya : ~
Disjungsi adalah operasi logika “ atau “ symbol : V, suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata “atau’  akan bernilai salah, jika kedua pernyataanya bernilai salah. Sedangkan lainnya benar.
Konjungsi adalah operasi logika “ dan “ symbol : Λ , suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata “dan” akan bernilai benar Jika nilai kedua pernyataanya bernilai benar. Sedangkan lainnya salah.
Implikasi adalah operasi logika “ jika … maka…”, symbol : => , Suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan “jika..maka…” akan bernilai salah , jika pernyataan pertama bernilai benar dan pernyataan kedua bernilai salah. Sedang lainnya bernilai benar.
Biimplikasi adalah operasi logika “jika dan hanya jika” atau implikasi dua arah. Symbol  “ó” ,Suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan oleh “jika dan hanya jika’ akan bernilai benar jika kedua pernyataanya bernilai benar atau keduanya bernilai salah.

Read More

Proposisi

Proposisi
Konsep dan Notasi Dasar
Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

Contoh 1
Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi:
a) 13 adalah bilangan ganjil.
b) 1 + 1 = 2.
c) 8  akar kuadrat dari 8 + 8.
d) Ada monyet di bulan.
e) Hari ini adalah hari Rabu.
f) Untuk sembarang bilangan bulat n  0, maka 2n adalah bilangan genap.
g) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil.

Contoh 2
Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi
(a) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
(b) Isilah gelas tersebut dengan air!
(c) x + 3 = 8
(d) x > 3

Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ….
p : 13 adalah bilangan ganjil.
q : Untuk sembarang bilangan bulat n  0, maka 2n adalah bilangan genap.

r : 2 + 2 = 4

Read More

Fungsi Domain, Kodomain dan Range

Dibawah ini saya membahas mengenai IAD Matemetika yaitu Fungsi Domain Kodomain dan Range.

Dalam matematika, domain atau ranah suatu fungsi adalah suatu himpunan nilai-nilai "masukan" tempat fungsi tersebut terdefinisi (ada).

DOMAIN, KODOMAIN, DAN RANGE

1. Pengertian Domain, Kodomain, Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawansedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Fungsi
Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A ke hanya satu anggota himpunan B
Notasi fungsi f dari A ke B ditulis f : A → B
A disebut domain (daerah asal)
B disebut kodomain (daerah kawan)
Himpunan bagian dari B yang merupakan hasil dari fungsi A ke B disebut range (daerah hasil)
Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y = f(x)
dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas).
Contoh :

  

Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di atas:
Domain = D_f = {1, 2, 3, 4}
Range = R_f = {2, 4}

  

DOMAIN, KODOMAIN, DAN RANGE

Pengertian Domain, Kodomain, Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

 

Note:

Domain, Kodomain, dan Range

a. Domain adalah daerah kawan
b. Kodomain adalah daerah kawan
c. Range adalah daerah hasil dari himpunan bagian  dari kodomain.

Sumber : http://irmasusandar.blogspot.com

Read More

RELASI INVERS

Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai
R-1 = {(b,a) ½ (a,b) Î R}
contoh:
A = {1,2,3}; B = {a,b}
R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B
R-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A

DOMAIN DAN RANGE
Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari pasangan berurutan elemen R.
Domain = { a ½ a Î A, (a,b) Î R }
Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari pasangan berurutan elemen R.
Range = {b ½ b Î B, (a,b) Î R}
contoh:
A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}
R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}
Domain = {2,4}
Range = {a,c}

Apa sih gradient itu?
Tempat kedudukan titik-titik (x,y) sehingga terdapat hubungan linier
ax + by + c = 0 merupakan suatu garis lurus
Bentuk ax + by +c = 0 (implisit) dapat ditulis dalam bentuk
y = mx + n (eksplisit)
dengan m = -a/b dan n = -c/b ; (b ¹ 0)
Ket : nilai m dan n ini mempunyai arti penting dalam menentukan grafik garis lurus.
m disebut koefisien arah (gradien) garis
m = tan a , dimana a adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x positif (berlawanan arah dengan jarum jam)
0° < a < 90° ® tan a = +
90° < a < 180° ® tan a = -
n = panjangan potongan terhadap sumbu y dihitung dari pusat sumbu koordinat

Sumber : http://anandayuni.wordpress.com

Read More

Bilangan Bulat dan Riil

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.

Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z (atau ), berasal dariZahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan").

Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena ituZ tidak tertutup di bawah pembagian.

Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan . Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.^[1]

Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.

Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner.

* Bilangan cacah adalah bilangan yang dimulai dengan angka nol, 
Contoh : C={0,1,2,3,4,5.6,7,8,9,10,...} 
* Bilangan Real(asli) adalah bilangan yang dimulai dengan angka satu(1), 
Contoh : A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...} 
* Bilangan bulat terdiri dari: 
a. Bilangan bulat positif {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...} 
b. Bilangan bulat negatif {-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-10,...} 
c. Bilangan bulat netral adalah bilangan nol(0) 

Sumber : http://id.wikipedia.org

Read More

HIMPUNAN (Matematika)

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn

Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

Read More

Dampak IPTEK dalam kebutuhan sekunder

Di era globalsasi ilmu pengetahuan dan teknologi berkembang sedemikian pesat. Ekonomi  mengalami pasang surut berganti-ganti sulit diprediksi. Kontelasi kekuasaan politik juga berubah-ubah. Kita sudah tidak lagi hidup dengan anggapan lama yaitu tentang dunia yang teratur dan harmonis, melainkan hidup dalam tidak keteraturan dan kecenderungan chaos. Jadi hal semacam hanya dapat diatasi oleh orang-orang pikirannya terbukadan orang yang selalu belajar untuk hal-hal baru. Bukanlah orang-orang yang siap pakai yang dapat memanfaatkan dan berhasil untuk mengarahkan perubahan. Seperti di televisi pernah ditayangkan setelah lulus SMP dianjurkan untuk melanjutkan ke sekolah kejuruan.

Sekilas tentang Perubahan Sosial

Masyarakat manusia di manapun tempatnya pasti mendambakan kemajuan dan peningkatan kesejahteraan yang optimal.Kondisi masyarakat secara obyektif merupakan hasil tali temali antara lingkungan alam, lingkungan sosial serta karakteristik individu. Ketiga-tiganya selalu berhubungan antara satu sama lain sehingga membentuk sebuah bangunan.

Perubahan sosial merupakan suatu tingkah laku yang mengalami perkembangan atau kemunduran bagi seorang individu terhadap lingkungan sekitar.Pada hal ini mengarah ke terjadinya proses internalisasi program pada subyek-didik (pendidik dan peserta didik). Sebab ini menekankan pada pentingnya tujuan/cara/jalan mendidik yang cocok sesuai dengan pola hidup bergama di masyarakat sekitar.

Hal-hal yang berkaitan dengan perubahan sosial:

1. Nilai-nilai sosial

Nilai sosial adalah nilai yang dianut oleh suatu masyarakat mengenai apa yang dianggap baik dan apa yang dianggap buruk oleh masyarakat. Sebagai contoh, orang menanggap menolong memiliki nilai baik, sedangkan mencuri bernilai buruk.

Ciri nilai sosial di antaranya sebagai berikut.

• Merupakan konstruksi masyarakat sebagai hasil interaksi antarwarga masyarakat.
• Disebarkan diantara warga masyarakat (bukan bawaan lahir).
• Terbentuk melalui sosialisasi (proses belajar)
• Merupakan bagian dari usaha pemenuhan kebutuhan dan kepuasan sosial manusia.
• Bervariasi antara kebudayaan yang satu dengan kebudayaan yang lain.
• Dapat mempengaruhi pengembangan diri sosial
• Memiliki pengaruh yang berbeda antarwarga masyarakat.
• Cenderung berkaitan satu sama lain.

2. Pola-pola perilaku

Pola-pola perilaku merupakan sikap atau perilaku yang ada sejak dia lahir sampai sekarang sesuai perkembangan zaman.

3. Organisasi

Organisasi adalah sekelompok orang (dua atau lebih) yang secara formal dipersatukan dalam suatu kerjasama untuk mencapai tujuan yang telah ditetapkan..

4. Lembaga dalam masyarakat ( Politik ).

Sumber : http://johnconnor1507.wordpress.com

Read More